Rationale Funktion

Eine rationale Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, die als Quotient zweier Polynomfunktionen darstellbar ist. Sie hat also die Form

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +b_{1}x+b_{0}}}={\frac {P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}}}$

mit natürlichen Zahlen ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$. Die Zahlen ${\displaystyle a_{m},\dotsc ,a_{0},b_{n},\dotsc ,b_{0}}$ können beliebige reelle Zahlen (oder auch komplexe Zahlen) sein; die einzige Einschränkung ist, dass ${\displaystyle Q_{n}\neq 0}$ sein muss. Die höchsten Koeffizienten ${\displaystyle a_{m}}$ und ${\displaystyle b_{n}}$ sollen nicht Null sein.

Abstrakter kann man für die Koeffizienten ${\displaystyle a_{m},\dotsc ,a_{0},b_{n},\dotsc ,b_{0}}$ Elemente eines beliebigen Körpers zulassen. Die rationalen Funktionen mit komplexen Koeffizienten gehören zu den meromorphen Funktionen.

Allgemeiner kann man rationale Funktionen in mehreren Variablen sowie rationale Funktionen auf algebraischen Varietäten über beliebigen Körpern betrachten.